题目内容
已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是正三角形，过底面一边BC与侧棱AA1上的一点所作的三棱柱的截面中，面积的最大值是2
，与底面所成二面角的最大值是
，则该三棱柱的体积等于 ．
| 3 |
| π |
| 3 |
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：取BC中点O，连结AO，A1O，由已知得∠AOA1=
，S △A1BC=2
，由此能求出该三棱柱的体积．
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：
解：取BC中点O，连结AO，A1O，
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是正三角形，
∴AO⊥BC，A1O⊥BC，
∠AOA1是二面角A1-BC-A的平面角，
∵过底面一边BC与侧棱AA1上的一点所作的三棱柱的截面中，
面积的最大值是2
，与底面所成二面角的最大值是
，
∴∠AOA1=
，S △A1BC=2
，
设AB=a，则AO=
a，AO=
a，AA1=
a，
∴S△A1BC=
a×
a=2
，解得a=2，
∴S△ABC=
×2×2×sin60°=
，AA1=
，
∴该三棱柱的体积V=
S△ABC×AA1=
×
×
=1．
故答案为：1．
解：取BC中点O，连结AO，A1O，∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是正三角形，
∴AO⊥BC，A1O⊥BC，
∠AOA1是二面角A1-BC-A的平面角，
∵过底面一边BC与侧棱AA1上的一点所作的三棱柱的截面中，
面积的最大值是2
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| π |
| 3 |
∴∠AOA1=
| π |
| 3 |
| 3 |
设AB=a，则AO=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴S△A1BC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴该三棱柱的体积V=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
故答案为：1．
点评：本题考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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