Question

若数列{a_n}满足a₁=2，a_n=

1

1-an-1

，（n=2，3，4，…），且有一个形如a_n=

3

sin（ωn+φ）+

1

2

的通项公式，其中ω、φ均为实数，且ω＞0，|φ|＜

π

2

，则ω=

 

，φ=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法,三角函数的图像与性质

分析：根据数列的递推公式，求出数列{a_n}的取值具备周期性，根据三角函数的周期和三角函数的性质即可得到结论．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n=

1

1-an-1

，
∴a₂=

1

1-2

=-1，a₃=

1

1-(-1)

=

1

2

，a₄=

1

1- 1 2

=

1

1 2

=2，
则数列{a_n}的取值具备周期性，周期T=3，
则三角函数的周期T=

2π

ω

=3，解得ω=

2π

3

，
此时a_n=

3

sin（ωn+φ）+

1

2

=

3

sin（

2π

3

n+φ）+

1

2

，
则当n=3时，a₃=

3

sin（

2π

3

×3+φ）+

1

2

=

3

sinφ+

1

2

=

1

2

，
即sinφ=0，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=0，
故答案为：

2π

3

，0

点评：本题主要考查数列和三角函数的综合问题，根据数列的递推公式判断数列{a_n}的取值具备周期性是解决本题的关键．