Question

已知函数f（x）=

1

log2(3x-2)

的定义域为集合A，不等式

1

2-x

≥1的解集为B．
（1）求（∁_RA）∩B
（2）记A∪B=C，若集合M={x∈R||x-a|＜4}满足M∩C=ϕ，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：先根据解析式求出函数的定义域A，由分式不等式的解法求出

1

2-x

≥1的解集B，
（1）由补集的运算求出C_RA，再由交集的运算求出（C_RA）∩B；
（2）由并集的运算求出集合C，求出绝对值不等式|x-a|＜4的解集即可求出M，再由M∩C=ϕ列出不等式，求实数a的取值范围．

解答： 解：由

3x-2＞0 3x-2≠1

得，解得x＞

2

3

且x≠1，即A={x|x＞

2

3

且x≠1}，
由

1

2-x

≥1得，

x-1

x-2

≤0，即

x-2≠0 (x-1)(x-2)≤0

，
解得1≤x＜2，则B={x|1≤x＜2}．  …（4分）
（1）于是C_RA={x|x≤

2

3

或x=1}，所以（C_RA）∩B={1}．…（6分）
（2）因为A∪B={x|x＞

2

3

}，则C={x|x＞

2

3

}，
由|x-a|＜4得，a-4＜x＜a+4，即M={x|a-4＜x＜a+4}，
因为M∩C=∅，所以a+4≤

2

3

，解得a≤-

10

3

．…（12分）

点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，分式不等式、绝对值的解法，以及函数的定义域，属于基础题．