Question

求下列函数f（x）的解析式．
（1）已知f（

1-x

1+x

）=2x，求f（x）；
（2）已知f（1-2x）=

1-x2

x2

，求f（x）；
（3）已知f（x）+2f（

1

x

）=5x+9，求f（x）；
（4）已知f（x）为二次函数，且f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令

1-x

1+x

=t，然后，用t表示x，利用换元法求解其解析式；
（2）令1-2x=t，然后，用t表示x，利用换元法求解其解析式；
（3）在等式的两边同时以

1

x

代x，构造一个新的等式，然后，求解f（x）即可；
（4）设该二次函数的解析式，然后，利用待定系数法求解其解析式．

解答： 解：（1）令

1-x

1+x

=t，
∴x=

1-t

1+t

，
∴f（t）=2

1-t

1+t

，
∴f（x）=2

1-x

1+x

；
（2）令1-2x=t，
∴x=

1-t

2

，
∴f（t）=

1

(1-t)2 4

-1，
=

-t2+2t+3

t2-2t+1

，
∴f（x）=

-x2+2x+3

x2-2x+1

；
（3）∵f（x）+2f（

1

x

）=5x+9，①
等式的两边同时以

1

x

代x，
f（

1

x

）+2f（x）=

5

x

+9，②
联立①②，解得
∴f（x）=

10

3x

-

5

3

x+3．
（4）∵f（x）为二次函数，
∴f（x）=ax²+bx+c  （a≠0），
∵f（0）=c=2，
∵f（x+1）-f（x）=x-1，
∴2ax+a+b=x-1，
∴a=

1

2

，b=-

3

2

，
∴f（x）=

1

2

x²-

3

2

x+2．

点评：本题重点考查了换元法和待定系数法、构造辅助关系式法，求解函数的解析式，属于中档题，重点掌握其基本处理思路和方法．