Question

已知函数f（x）=mx³+nx+k为奇函数，且f（x）在x=

3

3

时取得极值-

2 3

9

．
（Ⅰ）求实数m，n，k的值；
（Ⅱ）过定点Q（a，b）（a＞0）作曲线y=f（x）的切线，若这样的切线可以作出三条．求证：-a＜b＜f（a）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据奇函数的性质，得到f（0）=0，求出k，在根据f（x）在x=

3

3

时取得极值-

2 3

9

得到f′（

3

3

）=0，f（

3

3

）=-

2 3

9

，代入求值即可．
（Ⅱ）先设切点为（t，t³-t），根据导数的几何是切线的斜率，列出关于t的一个方程，然后根据此方程必须有三个不同的实数解，结合相应函数有三个不同的零点，最后利用函数的极值点列出不等关系即可证明．

解答： 解（Ⅰ）：∵f（x）=mx³+nx+k为奇函数．
∴f（0）=0，
∴k=0，
∴f′（x）=3mx³+n，
∵f（x）在x=

3

3

时取得极值-

2 3

9

．
∴f′（

3

3

）=0，f（

3

3

）=-

2 3

9

∴

m+n=0 m+3n=-2

 解得m=1，n=-1，
（Ⅱ）设切点P（t，t³-t），则切线方程为：y-t³+t=（3t²-1）（x-t），
∵过定点Q（a，b），
∴b-t³+t=（3t²-1）（a-t），
即2t³-3at²+a+b=0，
∵直线PQ有三条，
∴方程2t³-3at²+a+b=0有三个不同的实数解，（8分）
∴函数g（t）=2t³-3at²+a+b有三个不同的零点，
∴g′（t）=6t²-6at，
令g′（t）=0，解得t=0，或t=a，
当t=0时，g（t）有极大值，极大值为g（0）=a+b，
当t=a时，g（t）有极小值，极小值为g（a）=a-a³+b，
∴

a+b＞0 a-a3+b＜0

∴-a＜b＜a³-a，
∴-a＜b＜f（a）．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、函数的零点、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．