Question

已知y=f（x）为偶函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-ax（a＞

1

2

），当x∈（-2，0）时，f（x）的最大值为-1，则a的值等于

 

．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：先判断x∈（0，2）时，f（x）=lnx-ax（a＞

1

2

）的单调性以及何时取得最大值，有偶函数的性质，知x∈（0，2）时，f（x）的最大值也为-1，即可求得a．

解答： 解：因为x∈（0，2）时，f（x）=lnx-ax（a＞

1

2

），
所以f′（x）=

1

x

-a，
因为x∈（0，2），a＞

1

2

，
∴f′（x）=0，x=

1

a

，
当x＞

1

a

时，f′（x）＜0；当0＜x＜

1

a

时，f′（x）＞0，
故x=

1

a

，f（x）取最大值，
故x∈（0，2）时，f（x）=lnx-ax（a＞

1

2

）是增函数，
由于y=f（x）为偶函数，当x∈（-2，0）时，f（x）的最大值为-1，
所以f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-1，
解得：a=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、但是的单调性，可用导数进行判断求其最值，属于中档题．