Question

6．在直角坐标系中，若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤x}\\{y≤k（x-1）-1}\end{array}\right.$表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，2）
• C． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根据直线方程的点斜式，得不等式y≤k（x-1）-1表示的平面区域为经过点M（-1，1）的直线l及其下方的平面区域．由此作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△OAB及其内部．再观察直线AB的斜率变化，建立k的不等式即可得到实数k的取值范围．

解答 解：∵直线y=k（x-1）-1表示经过定点M（1，-1），且斜率为k的直线，
∴不等式y≤k（x-1）-1表示的平面区域为经过点M的直线l及其下方的平面区域，
因此，作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤x}\\{y≤k（x-1）-1}\end{array}\right.$表示的平面区域，
得到如图的△OAB及其内部，
因为该区域表示直线y=k（x-1）-1下方、直线y=x下方且在y=0的上方，
所以直线AB的斜率k小于0，且点A位于直线y=x上原点O以上部分，
∵OM的斜率为-1，∴k＜-1，
由此可得实数k的取值范围是（-∞，-1）．
故选：A．

点评 本题给出二元一次不等式组，当不等式组表示一个三角形平面区域时，求实数k的取值范围．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，属于基础题．