Question

16．已知二次函y=-x²+x在x=S_n处的切线斜率为a_n，并且b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+2}}$．
（1）求a_n和b_n的通项公式；       
 （2）求数列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）y′=-2x+1，依题意得a_n=-2S_n+1，利用递推关系与等比数列的通项公式可得a_n．由b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+2}}$．利用等差数列的通项公式可得b_n．
（2）$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$n•（\frac{1}{3}）^{n}$．利用错位相减法即可得出数列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$的前n项和．

解答 解：（1）y′=-2x+1，
依题意得a_n=-2S_n+1，
则当n≥2时，a_n-1=-2S_n-1+1，
相减可得：a_n-a_n-1=-2a_n，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
又当n=1时，可知a₁=$\frac{1}{3}$．
故数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
则a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
∵b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+2}}$．
∴数列$\{\frac{1}{{b}_{n}}\}$是以1为首项，$\frac{1}{{b}_{2}}-\frac{1}{{b}_{1}}$=1为公差的等差数列．
则$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+（n-1）=n，解得b_n=$\frac{1}{n}$．
（2）$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$n•（\frac{1}{3}）^{n}$．
设数列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$的前n项和为T_n．
T_n=$\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}$+3×$（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$n•（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$（\frac{1}{3}）^{2}$+2×$（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（n-1）$•（\frac{1}{3}）^{n}$+n$•（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
相减可得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n}$-n$•（\frac{1}{3}）^{n+1}$=$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$-n$•（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
化为：T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{4}•\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．