Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比q．
（2）若a₁-a₃=3，求S_n，并讨论S_n的最大值．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₂+2a₃=0，由此能求出公比q．
（2）由a₁-a₃=3，解得a₁=4，从而求出Sn=

8

3

[1-(-

1

2

)n]，由此利用分类讨论思想能求出S_n的最大值．

解答： 解：（1）由已知得2（a₁+a₂+a₃）=a₁+（a₁+a₂），
即a₂+2a₃=0，
∴q=

a3

a2

=-

1

2

．
（2）由a₁-a₃=3，得

3

4

a1=3，解得a₁=4，
∴Sn=

8

3

[1-(-

1

2

)n]．（10分）
当n为奇数时，Sn=

8

3

[1+（

1

2

）ⁿ]，∴（S_n）_max=

8

3

(1+

1

2

)=4．（12分）
当n为偶数时，Sn=

8

3

[1-（

1

2

）ⁿ]＜

8

3

．（14分）
∴S_n的最大值为4．（15分）

点评：本题考查等比数列的公比的求法，考查数列的极大值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．