题目内容
设函数f（x）=
，a，b∈（0，+∞），
（Ⅰ）用分析法证明：f（
）+f（
）≤
；
（Ⅱ）设a+b＞4，求证：af（b），bf（a）中至少有一个大于
．
| 1 |
| x+2 |
（Ⅰ）用分析法证明：f（
| a |
| b |
| b |
| a |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）设a+b＞4，求证：af（b），bf（a）中至少有一个大于
| 1 |
| 2 |
考点：反证法与放缩法
专题：证明题,反证法
分析：（Ⅰ）分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题；
（Ⅱ）反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
（Ⅱ）反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
解答：
证明：（Ⅰ）要证明f（
）+f（
）≤
，
只需证明
+
≤
，
只需证明：
+
≤
，
只需证明：
≤
，
只需证明：（a-b）2≥0，
显然成立，
∴f（
）+f（
）≤
；
（Ⅱ）假设af（b），bf（a）中都小于等于
，则
≤
，
≤
，
∴2a≤b+2，2b≤a+2，
两式相加可得a+b≤4，
这与a+b＞4，矛盾，
∴af（b），bf（a）中至少有一个大于
．
| a |
| b |
| b |
| a |
| 2 |
| 3 |
只需证明
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 2 |
| 3 |
只需证明：
| b |
| a+2b |
| a |
| b+2a |
| 2 |
| 3 |
只需证明：
| b2+4ab+a2 |
| 2a2+5ab+2b2 |
| 2 |
| 3 |
只需证明：（a-b）2≥0，
显然成立，
∴f（
| a |
| b |
| b |
| a |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）假设af（b），bf（a）中都小于等于
| 1 |
| 2 |
| a |
| b+2 |
| 1 |
| 2 |
| b |
| a+2 |
| 1 |
| 2 |
∴2a≤b+2，2b≤a+2，
两式相加可得a+b≤4，
这与a+b＞4，矛盾，
∴af（b），bf（a）中至少有一个大于
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．
练习册系列答案
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