Question

10．已知数列{a_n-4}是公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，设S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=5，若对任意n∈N^*，都有P（S_n-4n）∈[1，3]，则实数P的取值范围是[2，3]．

Answer 1

分析 数列{a_n-4}是公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，可得a_n=4+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，利用求和公式可得：数列{a_n}的前n项和S_n=4n+$\frac{2}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，由于对于任意n∈N^*，都有P（S_n-4n）∈[1，3]，可得$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．对n分类讨论，利用数列的单调性与不等式的性质即可得出．

解答 解：∵数列{a_n-4}是公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，∴a_n-4=（a₁-4）×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，a₁=5，
∴a_n=4+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴S_n-4n=$\frac{2}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
由于对于任意n∈N^*，都有P（S_n-4n）∈[1，3]，
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．
∴
n为奇数时，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$∈$[\frac{2}{3}，1）$；
n为偶数时，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$∈$（1，\frac{4}{3}]$．
∴$\frac{4}{3}$≤$\frac{2p}{3}$≤2，解得2≤p≤3．
则实数P的取值范围是[2，3]．
故答案为：[2，3]．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．