Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF₁并延长交椭圆于另一点Q，设$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$．
（1）若点P的坐标为 （1，$\frac{3}{2}$），且△PQF₂的周长为8，求椭圆C的方程；
（2）若PF₂垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由F₁，F₂为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF₂的周长为4a．由点P的坐标为 （1，$\frac{3}{2}$），可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，解出即可得出．
（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．

解答 解：（1）∵F₁，F₂为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
∴PF₁+PF₂=QF₁+QF₂=2a，从而△PQF₂的周长为4a．
由题意，得4a=8，解得a=2．  
∵点P的坐标为 （1，$\frac{3}{2}$），∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
解得b²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1． 
（2）∵PF₂⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y₀），y₀＞0．设Q（x₁，y₁）．
∵P在椭圆上，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y₀=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）．
∵F₁（-c，0），∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₁+c，y₁）．
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，得-2c=λ（x₁+c），-$\frac{{b}^{2}}{a}$=λy₁，
解得x₁=-$\frac{λ+2}{λ}$c，y₁=-$\frac{{b}^{2}}{λa}$，∴Q（-$\frac{λ+2}{λ}$c，-$\frac{{b}^{2}}{λa}$）．
∵点Q在椭圆上，∴（$\frac{λ+2}{λ}$）²e²+$\frac{{b}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$=1，
即（λ+2）²e²+（1-e²）=λ²，（λ²+4λ+3）e²=λ²-1，
∵λ+1≠0，∴（λ+3）e²=λ-1，从而λ=$\frac{3e2+1}{1-e2}$=$\frac{4}{1-e2}$-3．
∵e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，∴$\frac{1}{4}$≤e²≤$\frac{1}{2}$，即$\frac{7}{3}$≤λ≤5．
∴λ的取值范围为[$\frac{7}{3}$，5]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．