Question

18．已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥4-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求mn的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，化简不等式，去绝对值即可求解．
（Ⅱ）根据不等式的解集求出a的值，利用基本不等式的性质求解最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-a|．
当a=1时，不等式为|x-1|≥4-|x-1|，即|x-1|≥2，
解得：x-1≥2或x-1≤-2，即x≥3或x≤-1，
∴原不等式的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）f（x）≤1的解集为[0，2]，
即f（x）≤1
?|x-a|≤1
?-1≤x-a≤1
?a-1≤x≤a+1，
∵f（x）≤1的解集为[0，2]
∴$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1=2\end{array}\right.⇒a=1$．
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1≥2\sqrt{\frac{1}{2mn}}（{m＞0\;\;，\;\;n＞0}）$，
∴mn≥2，
（当且仅当$\frac{1}{m}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$即m=2，n=1时取等号）
∴mn的最小值为2．

点评 本题考查了函数绝对值不等式的解法，去掉绝对值是关键．同时考查了基本不等式的性质的运用．属于基础题．