Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点，且.

①求的取值范围；

②求证：.

Answer 1

【答案】(1) (2) ①，②见解析

【解析】分析：（1）求出，它是切线的斜率，利用点斜式写出切线方程.

（2）根据得有两个极值点等价于在有两个不同的根，利用判断式大于零得到的取值范围.要证明，需证明，但，故只要证明 在上恒成立，可令 ，通过导数讨论其单调性即可.

详解：（1）当时，，则，

∴，

∴在点处的切线方程为，即；

（2）①函数的定义域为，且，

因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正实根，

∴有两个不同的正实根，

∴，

即的取值范围是.

②由题意，的两根为，由韦达定理，，

其中，

于是 ，

令，则在上恒成立，

即函数在上为减函数，

又因为，所以，即.