题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,点
也为抛物线
的焦点.(1)若
为椭圆
上两点,且线段
的中点为
,求直线
的斜率;
(2)若过椭圆的右焦点
作两条互相垂直的直线分别交椭圆于
和
,设线段
的长分别为
,证明
是定值.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】分析:(1)先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出,进而确定椭圆的标准方程,再利用点差法求直线的斜率;(2)设出直线的方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解.
详解:因为抛物线的焦点为
,所以
,故
.
所以椭圆.
(1)设,
,则
两式相减得,
又的中点为
,所以
,
.
所以.
显然,点在椭圆内部,所以直线
的斜率为
.
(2)椭圆右焦点.
当直线的斜率不存在或者为
时,
.
当直线的斜率存在且不为
时,设直线
的方程为
,
设,
,联立方程得
消去并化简得
,
因为,
所以,
.
所以,
同理可得.
所以为定值.
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