Question

已知函数f（x）=log_a（ax-

x

）（a＞0，a≠1为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-2x+1的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据对数函数成立的条件，即可求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）把a=2代入函数解析式，由x的范围求得对数函数真数的范围，则函数值域可求；
（Ⅲ）由对数的运算性质化简y=a^f（x），把函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-2x+1的上方转化为ax-

x

-(-2x+1)＞0恒成立，分离参数a后求出二次函数的最值，则答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）要使函数有意义，则ax-

x

＞0，且x≥0，
即x＞

1

a2

，即函数f（x）的定义域{x|x＞

1

a2

}；
（Ⅱ）若a=2，则f（x）=log₂（2x-

x

），
∵x∈[1，9]，∴

x

∈[1，3]，
则2x-

x

∈[1，15]，
∴函数f（x）的值域为[0，log₂15]；
（Ⅲ）y=a^f（x）=aloga(ax-

x

)=ax-

x

，
函数y=a^f（x）的图象恒在直线y=-2x+1的上方，
即ax-

x

-(-2x+1)＞0恒成立，
也就是a＞

1

x

+

1

x

-2在(

1

a2

，+∞)上恒成立．
令

1

x

=t，则t∈（0，a），
则a＞t²+t-2在t∈（0，a）恒成立，
∴a≥a²+a-2，解得0＜a≤

2

．

点评：本题考查了函数的定义域及值域的求法，考查了数学转化思想方法，训练了分类变量法及配方法求参数的取值范围，是中档题．