Question

9．已知函数$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$，x∈[-2015，2015]的最大值与最小值分别为A和B，则A+B=2．

Answer 1

分析 由$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$+1，构造函数g（x）=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$，根据函数的奇偶性即可求出答案．

解答 解：$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$+1，
设g（x）=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$，
则g（-x）=-$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$=-g（x），
∴g（x）为奇函数，
∵x∈[-2015，2015]，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
∴A=f（x）_max=g（x）_max+1，B=f（x）_min=g（x）_min+1，
∴A+B=2，
故答案为：2

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数的最值的关系，属于中档题．