Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，$AB=BC=CA=\sqrt{3}$，$A{A_1}=2\sqrt{2}$，则该三棱柱外接球的表面积等于12π．

Answer 1

分析 由题意推出三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答 解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为$\sqrt{3}$，高为2$\sqrt{2}$，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr²．
球心到底面的距离为$\sqrt{2}$，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=1，
所以球的半径为r=$\sqrt{2+1}$．
外接球的表面积为：4πr²=12π，
故答案为：12π．

点评 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．