Question

20．已知f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$，若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{9}{8}$）．

Answer 1

分析 由题意可得对区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，令h（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x ，利用单调性求得h（x）的最小值，可得实数m的取值范围．

解答 解：f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}（1+\frac{2}{x-1}）$，∵由于$\frac{2}{x-1}$在 区间（1，+∞）内单调递减，故f（x）在[3，4]上单调递增，
则对区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立．
令h（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x ，则得h（x）在[3，4]上单调递增，
故h（x）的最小值为h（3）=-1-$\frac{1}{8}$=-$\frac{9}{8}$，∴m＜-$\frac{9}{8}$，
故答案为：$（-∞，-\frac{9}{8}）$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性，汗水肚饿恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．