Question

2．P是双曲线C：x²-y²=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F₂是双曲线C的右焦点，则|PF₂|+|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． $2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|PF₂|+|PQ|=|PF₁|+2$\sqrt{2}$+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F₁三点共线，且P在F₁，Q之间时，|PF₁|+|PQ|最小，且最小值为F₁到l的距离，从而可求得|PF₂|+|PQ|的最小值．

解答 解：双曲线C：x²-y²=2的a=b=$\sqrt{2}$，c=2，
一条渐近线l方程为x-y=0，
设双曲线的左焦点为F₁，连接PF₁，
由双曲线定义可得|PF₂|-|PF₁|=2a=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₂|=|PF₁|+2$\sqrt{2}$，
∴|PF₂|+|PQ|=|PF₁|+2$\sqrt{2}$+|PQ|，
当且仅当Q、P、F₁三点共线，且P在F₁，Q之间时，
|PF₁|+|PQ|最小，且最小值为F₁到l的距离，
可得F₁（-2，0）到l的距离d=$\frac{|-2-0|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|PQ|+|PF₂|的最小值为2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线的定义将|PF₂|转化为|PF₁|+2 a是关键，考查转化思想和运算能力，属于中档题．