Question

7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为$\frac{3}{2}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过K（-1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且$\overrightarrow{KA}=λ\overrightarrow{KB}（λ∈[2，3]）$，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，点Q在FO的垂直平分线上，运用点到直线的距离，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；
（2）设A，B的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my-1，并代入到y²=4x中，运用韦达定理，可得m和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m²的范围，求出AB的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点（$\frac{p}{2}$，0），
根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，
所以点Q到准线x=-$\frac{p}{2}$的距离为$\frac{p}{4}+\frac{p}{2}=\frac{3}{2}⇒p=2$，
所以C：y²=4x．
（2）设$A（{x_1}，{y_1}），B（{x_2}，{y_2}），\overrightarrow{KA}=λ\overrightarrow{KB}⇒{y_1}=λ{y_2}$，①
设直线l：x=my-1代入到y²=4x中得y²-4my+4=0，
所以y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，②
由①②可得4m²=$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2，
由2≤λ≤3可得y=λ+$\frac{1}{λ}$+2递增，即有4m²∈[$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{3}$]，
又AB中点（2m²-1，2m），
所以直线AB的垂直平分线的方程为y-2m=-m（x-2m²+1），
令y=0，
可得${x_0}=2{m^2}+1∈[\frac{13}{4}，\frac{11}{3}]$．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用抛物线的性质，三角形的外心的性质，考查联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和向量的坐标运算，以及对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．