Question

10．已知函数f（x）=x²-2x+$\frac{1}{2}$，g（x）=x+$\frac{1}{x}$，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|g（x）-g（y）＞0}，则从M中随机取一个点A，则A落在N中的概率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先分别求出区域M，N的面积，由几何概型的公式，利用面积比求概率．

解答 解：由已知f（x）+f（y）=x²-2x+$\frac{1}{2}$+y²-2y+$\frac{1}{2}$
=（x-1）²+（y-1）²-1≤0，
所以M：=（x-1）²+（y-1）²≤1，是圆心为（1，1）
，半径为1 的圆面，面积为π，g（x）-g（y）
=x+$\frac{1}{x}$-y-$\frac{1}{y}$＞0，整理得N：（x-y）（xy-1）＞0，
对应区域如图阴影部分，
由于图形的对称性，S₁=S₂，所以N对应区域面积为半圆面积$\frac{π}{2}$，由几何概型的公式得到从M中随机取一个点A，则A落在N中的概率为：$\frac{\frac{π}{2}}{π}=\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了几何概型的概率公式运用；关键是明确对应区域的面积，利用面积比求得概率．