Question

14．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式中的值都等于同一个常数k．
①cos²11°+sin²41°-cos11°sin41°；
②cos²22°+sin²52°-cos22°sin52°；
③cos²30°+sin²60°-cos30°sin60°；
④cos²44°+sin²74°-cos44°sin74°．
（1）试从上述四个式中选择一个，求出这个常数k的值；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广三角恒定等式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）选③计算即可，
（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos²α+sin²（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$”的规律．然后利用三角函数的化简即可得到答案

解答 解：（1）cos²30°+sin²60°-cos30°sin60°=$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$
（2）根据式子特点猜想：cos²α+sin²（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$
证明：cos²α+sin²（α+30°）-cosαsin（α+30°）
=cos²α+（sin30°cosα+cos30°sinα）²-cosα（sin30°cosα+cos30°sinα）
=cos²α+（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）²-cosα（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）
=cos²α+（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）（-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）
=cos²α-$\frac{1}{4}$cos²α+$\frac{3}{4}$sin²α=$\frac{3}{4}$．

点评 归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．