Question

19．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{πx}{m}$．若存在x₀使$f（{x_0}）=±\sqrt{3}$且满足x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-6）∪（6，+∞）
• B． （-∞，-4）∪（4，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由$f（{x_0}）=±\sqrt{3}$，[f（x₀）]²=3，求导，令f′（x₀）=0，求得$\frac{{x}_{0}}{m}$=k+$\frac{1}{2}$，即可求得丨x₀丨≥丨$\frac{m}{2}$丨，即x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²≥$\frac{{m}^{2}}{4}$+3，由x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，求得m²＞$\frac{{m}^{2}}{4}$+3，求得m的取值范围．

解答 解：由题意知：$f（{x_0}）=±\sqrt{3}$，
∴[f（x₀）]²=3，
∵f′（x₀）=$\frac{π}{m}$•$\sqrt{3}$cos$\frac{π{x}_{0}}{m}$=0，
∴$\frac{π{x}_{0}}{m}$=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），
∴$\frac{{x}_{0}}{m}$=k+$\frac{1}{2}$，（k∈Z），即丨$\frac{{x}_{0}}{m}$丨=丨k+$\frac{1}{2}$丨≥$\frac{1}{2}$，
∴丨x₀丨≥丨$\frac{m}{2}$丨，即x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²≥$\frac{{m}^{2}}{4}$+3，
而已知x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，
∴m²＞$\frac{{m}^{2}}{4}$+3，
故$\frac{3{m}^{2}}{4}$＞3，解得m＞2或m＜-2，
故答案选：C．

点评 本题考查正弦函数图象及性质，导数的运算，考查利用导数研究函数的极值，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．