Question

9．现今社会，有些物品价格时效性强，某购物网店在销售一种圣诞礼品的一个月（30天）中，圣诞前15天价格呈直线上升，而圣诞过后15天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：

时间	第4天	第8天	第16天	第22天
价格（元）	23	24	22	18

（1）写出价格f（x）关于时间x的函数关系式（x表示投放市场的第x（x∈N）天）；
（2）销售量g（x）与时间x的函数关系可近似为：g（x）=-$\frac{1}{3$x+38（1≤x≤30，x∈N），则该网店在这个月销售该礼品时，第几天销售额最高？最高为多少元？

Answer 1

分析 （1）价格直线上升，直线下降，说明价格函数f（x）是一次函数，由表中对应关系用待定系数法易求f（x）的表达式；
（2）由销售额=销售量×时间，得日销售额函数S（x）的解析式，从而求出S（x）的最大值．

解答 解：（1）由题意知，当1≤x＜15时，一次函数y=ax+b过点A（4，23），B（8，24），代入函数求得a=$\frac{1}{4}$，b=22；
当15≤x≤30时，一次函数y=kx+m过点C（16，22），D（22，18），代入函数求得k=-$\frac{2}{3}$，m=$\frac{98}{3}$；
∴函数解析式为：y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+22，1≤x＜15，x∈N}\\{-\frac{2}{3}x+\frac{98}{3}，15≤x≤30，x∈N}\end{array}\right.$；
（2）设日销售额为S元，当1≤x＜15时，S（x）=（$\frac{1}{4}$x+22）•（-$\frac{1}{3$x+38）=-$\frac{1}{12}$（x-13）²+$\frac{10171}{12}$；
∴当x=13时，函数有最大值S（x）_max=$\frac{10171}{12}$（元）；
当15≤x≤30时，S（x）=（-$\frac{2}{3}$x+$\frac{98}{3}$）•（-$\frac{1}{3$x+38）=$\frac{2}{9}$（x²-163x+5586）；
∴当x=30时，s（x）_max=$\frac{1064}{3}$（元）．
综上所知，日销售额最高是在第13天，最高值为$\frac{10171}{12}$元．

点评 本题考查函数模型的构建，考查求分段函数的解析式和最大值的应用题，考查求二次函数在闭区间上的最大值，属于中档题．