Question

10．已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足：$\frac{f（x）+f（y）}{2}=f（\frac{x+y}{2}）cos\frac{π（x-y）}{2}$，且$f（0）=f（1）=0，f（\frac{1}{2}）=1$，并且当$x∈（0，\frac{1}{2}）时，f（x）＞0$．给出如下结论：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）在$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$上单调递增；
③函数f（x）是以2为周期的周期函数；
④$f（-\frac{5}{2}）=0$
其中正确的结论是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①④
• D． ③④

Answer 1

分析 利用赋值法，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：令y=-x，可得$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$=f（0）cosxπ=0，∴f（-x）=-f（x），函数f（x）是奇函数，故①不正确；
设$\frac{1}{2}$＞x₁＞x₂＞-$\frac{1}{2}$，则∵当$x∈（0，\frac{1}{2}）时，f（x）＞0$，∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{2}$=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$）cos$\frac{π（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴函数f（x）在$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$上单调递增，故②正确；
令y=0，可得f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）cos$\frac{πx}{2}$，f（x+2）=2f（$\frac{x+2}{2}$）（-cos$\frac{πx}{2}$），可得f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，故正确；
④f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-1，不正确．
故选B．

点评 本题考查通过给恒等式中的未知数赋定值求函数值、求函数的性质，属于中档题．