Question

函数y=

1-x2 -2

x+2

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：三角换元，令设x=sinα，α∈[-

π

2

，

π

2

]，可得y=

cosα-2

sinα+2

，变形由三角函数的有界限可得关于y的不等式，解不等式可得．

解答： 解：∵1-x²≥0，∴x²≤1，解得-1≤x≤1，
故可设x=sinα，α∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴y=

1-sin2α -2

sinα+2

=

cosα-2

sinα+2

，
变形可得y（sinα+2）=cosα-2，
即ysinα-cosα=-2-2y，
∵ysinα-cosα=

y2+1

sin（α+θ），
∴|ysinα-cosα|≤

y2+1

，
∴|-2-2y|≤

y2+1

，
平方整理可得3y²+8y+3≤0，
解得

-4- 7

3

≤y≤

-4+ 7

3

，
∴函数的最小值为：

-4- 7

3

点评：本题考查函数的最值，三角换元是解决问题的关键，属中档题．