Question

11．已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间$[{0，\frac{π}{4}}]$内的最大值为$\sqrt{2}$．
（1）求实数m的值；
（2）求函数y=g（x）与直线y=1相邻交点间距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角公式化简f（x）的解析式，再由平移变换可得g（x）的表达式，结合正弦函数的最值，即可得到所求m的值；
（2）解方程$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）=1$，即可得到所求相邻交点间距离的最小值．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m=sin2x-cos2x-1+m=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1+m$，
所以，g（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1+m$，2分
∵x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$，
∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$时，即$x=\frac{π}{8}$时，函数g（x）取得最大值$\sqrt{2}-1+m=\sqrt{2}$，
则m=1． 5分
（2）∴g（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）=1$，
$sin（2x+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{4}$或$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{3π}{4}$，7分
解得x₁=k₁π或${x_2}={k_2}π+\frac{π}{4}$，k₁，k₂∈Z.8分
因为$|{{x_1}-{x_2}}|=|{（{k_1}-{k_2}）π-\frac{π}{4}}|≥\frac{π}{4}$，当k₁=k₂时取等号，
∴相邻交点间距离的最小值是$\frac{π}{4}$.10分．

点评 本题考查三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．