题目内容
方程
+
=1（a，b∈{1，2，3，4，…，2013}）的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离心率最小的椭圆方程为 ．
| x2 |
| a |
| y2 |
| b |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）当a=b=1，2，3，…2013时，方程表示的曲线为圆，设圆的半径是r，则r2=1，2，3…，2013，代入圆的面积公式，求出所有圆面积的和等于多少即可；
（2）根据离心率的求法，要离心率最小，则应满足a、b的差最小，据此求出离心率的最小值，以及对应的椭圆的方程即可．
（2）根据离心率的求法，要离心率最小，则应满足a、b的差最小，据此求出离心率的最小值，以及对应的椭圆的方程即可．
解答：
解：当a=b=1，2，3，…2013时，方程表示的曲线为圆，
设圆的半径是r，则r2=1，2，3…，2013，
根据圆的面积公式，可得所有圆面积的和为：
π（1+2+3+…+2013）=π•
=2027091π；
要离心率最小，则应满足a、b的差最小，
①当a＞b时，a=2013，b=2012时，离心率最小为
=
，
此时椭圆的方程为：
+
=1；
②当a＜b时，a=2012，b=2013时，离心率最小为
=
，
此时椭圆的方程为：
+
=1．
故答案为：2027091π；
+
=1或
+
=1．
设圆的半径是r，则r2=1，2，3…，2013，
根据圆的面积公式，可得所有圆面积的和为：
π（1+2+3+…+2013）=π•
| (1+2013)×2013 |
| 2 |
要离心率最小，则应满足a、b的差最小，
①当a＞b时，a=2013，b=2012时，离心率最小为
| ||
|
| ||
| 2013 |
此时椭圆的方程为：
| x2 |
| 2013 |
| y2 |
| 2012 |
②当a＜b时，a=2012，b=2013时，离心率最小为
| ||
|
| ||
| 2013 |
此时椭圆的方程为：
| y2 |
| 2013 |
| x2 |
| 2012 |
故答案为：2027091π；
| x2 |
| 2013 |
| y2 |
| 2012 |
| y2 |
| 2013 |
| x2 |
| 2012 |
点评：此题主要考查了椭圆的基本性质，以及分类讨论思想的运用，考查了圆的特征以及面积公式的运用，属于基础题．
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