题目内容
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）AC∩BD=G，A1C1∩EF=N，A1C交平面DBFE于M点，求证：G，N，M三点共线．
考点：平面的基本性质及推论
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知得EF∥D1B1，BB1∥DD1、BB1=DD1，从而BB1D1D是平行四边形，从而EF∥DB，由此能证明D、B、F、E共面．
（2）由已知得EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．
（2）由已知得EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．
解答：
证明：（1）∵E、F分别为C1D1，B1C1的中点，
∴EF是△B1C1D1的中位线，
∴EF∥D1B1，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴BB1∥DD1、BB1=DD1，
∴BB1D1D是平行四边形，
∴DB∥D1B1，
又由EF∥D1B1，
∴EF∥DB，
∴D、B、F、E共面．
（2）∵AC∩BD=G，A1C1∩EF=N，
∴GN是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，
∵A1C交平面DBFE于M点，
∴M是GN是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，
∴G，N，M三点共线．
∴EF是△B1C1D1的中位线，
∴EF∥D1B1，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴BB1∥DD1、BB1=DD1，
∴BB1D1D是平行四边形，
∴DB∥D1B1，
又由EF∥D1B1，
∴EF∥DB，
∴D、B、F、E共面．
（2）∵AC∩BD=G，A1C1∩EF=N，
∴GN是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，
∵A1C交平面DBFE于M点，
∴M是GN是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，
∴G，N，M三点共线．
点评：本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
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