Question

设a为常数，且a＜1．
（1）解关于x的不等式（a²-a-1）x＞1；
（2）解关于x的不等式组

2x2-3(1+a)x+6a＞0 0≤x≤1

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）对a进行分类讨论，判断得出a²-a-1的正负，进而可求得其解集；
（2）对a分类讨论先求得一元二次不等式2x²-3（1+a）x+6a＞0的解集，再与0≤x≤1求交集即可得出结论．

解答： 解：（1）令a²-a-1=0，解得a1=

1- 5

2

＜0，a2=

1+ 5

2

＞1．
①当a＜

1- 5

2

时，解原不等式，得x＞

1

a2-a-1

，即其解集为{x|x＞

1

a2-a-1

}；
②当a=

1- 5

2

时，解原不等式，得无解，即其解集为φ；            
③当

1- 5

2

＜a＜1时，解原不等式，得x＜

1

a2-a-1

，即其解集为{x|x＜

1

a2-a-1

}．
（2）依2x²-3（1+a）x+6a＞0（*），令2x²-3（1+a）x+6a=0（**），
可得△=9（1+a）²-48a=3（3a-1）（a-3）．
①当

1

3

＜a＜1时，△＜0，此时方程（**）无解，解不等式（*），得x∈R，故原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}；                                         
②当a=

1

3

时，△=0，此时方程（**）有两个相等的实根x1=x2=

3(1+a)

4

=1，
解不等式（*），得x≠1，故原不等式组的解集为{x|0≤x＜1}；            
③当a＜

1

3

时，△＞0，此时方程（**）有两个不等的实根x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

，x4=

3+3a+ 3(3a-1)(a-3)

4

，
且x₃＜x₄，解不等式（*），得x＜x₃或x＞x₄．
x4=

3+3a+ 3(3a-1)(a-3)

4

=

3+3a+ (1-3a)2+(8-24a)

4

＞

3+3a+1-3a

4

=1，
x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

＜

3+3a

4

＜1，
且x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

=

3+3a- (3-5a)2-16a2

4

≥

3+3a-(3-5a)

4

=2a，
所以当a＞0，可得x₃＞0；又当x₃＞0，可得a＞0，故x₃＞0?a＞0，（
所以ⅰ）当0＜a＜

1

3

时，原不等式组的解集为{x|0≤x＜

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

}；
ⅱ）当a≤0时，原不等式组的解集为φ．
综上，当a≤0时，原不等式组的解集为φ；当0＜a＜

1

3

时，原不等式组的解集为{x|0≤x＜

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

}；
当a=

1

3

时，原不等式组的解集为{x|0≤x＜1}；当

1

3

＜a＜1时，原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}．

点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式及一元二次不等式的解法，考查学生分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，属于中档题．