Question

已知不等式（m-1）x²-2x+1≥0
（1）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若不等式对任意x∈[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据一元二次不等式的性质可知，不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意实数x恒成立等价于

m-1＞0 △=4-4(m-1)≤0

，求解即可得实数m的取值范围；
（2）构造函数f（x）=（m-1）x²-2x+1，根据二次函数性质，分情况讨论f（x）在x∈[2，4]时的最小值，解不等式f（x）_min≥0即可确定实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意实数x恒成立，
∴

m-1＞0 △=4-4(m-1)≤0

，
解得，m≥2
∴实数m的取值范围是[2，+∞）．
（2）令f（x）=（m-1）x²-2x+1，
则f（x）图象关于x=

1

m-1

对称，
当m-1≤0时，f（x）在[2，4]上递减，f（4）=16（m-1）-7＜0，
不满足题意；
当m-1＞0时，若

1

m-1

≤2，则f（x）在[2，4]上递增，
不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意x∈[2，4]恒成立等价于
f（2）=4（m-1）-3≥0，
解得，m≥

7

4

；
若

1

m-1

≥4，则f（x）在[2，4]上递减，
不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意x∈[2，4]恒成立等价于
f（4）=16（m-1）-7≥0，
无解；
若2＜

1

m-1

＜4，则不等式（m-1）x²-2x+1≥0对任意x∈[2，4]恒成立等价于
△=4-4（m-1）≤0，无解．
综上所述，不等式对任意x∈[2，4]恒成立，实数m的取值范围是[

7

4

，+∞)．

点评：本题考查的重点是恒成立问题，考查利用函数性质求函数的最值，解题的关键是构造函数求最值．属于难题．