Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k，已知函数f_k（x）=

f(x)，f(x)≤k k，f(x)＞k

，取函f（x）=3-x-e^-x．若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_k（x）=f（x），则k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．

解答： 解：对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_k（x）=f（x），等价于对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f（x）=3-x-e^-x≤k，
由f'（x）=-1+e^-x，知当x∈（-∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；则f（x）_max=f（0）=2；
故k≥2．
故答案为：k≥2．

点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．