Question

已知函数f（x）=2sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）sinx，给出下列五个说法：
①f（

1921π

12

）=

1

4

．
②f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上单调递增．
③f（x）的图象关于点（-

π

4

，0）成中心对称．
④将函数f（x）的图象向右平移

3π

4

个单位可得到y=

1

2

cos2x的图象．
⑤若f（

x

2

-

π

6

）=

3

10

，

5π

6

≤x≤

4π

3

，则cosx=-

4+3 3

10

其中正确说法的序号是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：由条件根据三角函数的恒等变换，正弦函数、余弦函数的图象性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：由于函数f（x）=2sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）sinx=2[(

2

2

cos

x

2

)2-(

2

2

sin

x

2

)2]sinx=cosx•sinx=

1

2

sin2x，
∴f（

1921

12

）=

1

2

sin

1921π

6

=

1

2

sin

π

6

=

1

4

，故①正确；
当x∈[-

π

6

，

π

3

]，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，故函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上没有单调性，故②不正确；
当x=-

π

4

，求得f（x）=

1

2

sin（-

π

2

）=-

1

2

，为最大值，故f（x）的图象关于直线x=-

π

4

对称，故③不正确；
将函数f（x）的图象向右平移

3π

4

个单位可得到y=

1

2

sin2（x-

3π

4

）=

1

2

sin（2x-

3π

2

）=-

1

2

sin（

3π

2

-2x）=

1

2

cos2x的图象，故④正确；
若f（

x

2

-

π

6

）=

1

2

sin2（

x

2

-

π

6

）=

1

2

sin（x-

π

3

）=

3

10

，则sin（x-

π

3

）=

3

5

．
∵

5π

6

≤x≤

4π

3

，∴

π

2

≤x-

π

3

≤π，则cos（x-

π

3

）=-

4

5

，
∴cosx=cos[（x-

π

3

）+

π

3

]=cos（x-

π

3

）cos

π

3

-sin（x-

π

3

）sin

π

3

=-

4

5

×

1

2

-

3

5

×

3

2

=-

4+3 3

10

，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数、余弦函数的图象性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．