Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

2

2

），离心率为

2

2

，左、右焦点分别为F₁，F₂．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF₁，PF₂的斜率存在，且分别为k₁，k₂．
①求证：

1

k1

-

3

k2

为定值；
②是否存在这样的点P，使直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0？若存在，
求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

1 a2 + 1 2b2 =1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）（i）直线PF₁，PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1）联立方程P（

k1+k2

k1-k1

，

2k1k2

k2-k1

），由此能证明

1

k1

-

3

k2

=2为定值．
（ii）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D） 联立直线PF₁与椭圆的方程得

y=k1(x+1) x2  2 +y2=1

，得（2k₁²+1）x²+4k²₁x+2k²₁-2=0，从而k_OA+k_OB=-

2k1

k12-1

，同理，k_OC+k_OD=-

2k2

k22-1

，由此推导出满足条件的点P的坐标分别为（0，2），（

5

4

，

3

4

）．

解答： （1）解：因为椭圆过点（1，

2

2

），离心率为

2

2

，
所以

1 a2 + 1 2b2 =1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1，c=1，
故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）（i）证明：由于F₁（-1，0）、F₂（1，0），
PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，且点P不在x轴上，
所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0，
又直线PF₁，PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1）
联立方程得

x= k1+k2 k2-k1 y= 2k1k2 k2-k2

，所以P（

k1+k2

k1-k1

，

2k1k2

k2-k1

），
由于点P在直线x+y=2上
所以

k1+k2+2k1k2

k2-k1

=2，
因此2k₁k₂+3k₁-k₂=0
即

1

k1

-

3

k2

=2为定值．
（ii）解：设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D）
联立直线PF₁与椭圆的方程得

y=k1(x+1) x2  2 +y2=1

，
化简得（2k₁²+1）x²+4k²₁x+2k²₁-2=0
因此x_A+x_B=-

4k12

2k12+1

，x_Ax_B=

2k12-2

2k1+1

，
由于OA，OB的斜率存在
所以x_A≠0，x_B≠0
因此k₁²≠0，1
因此k_OA+k_OB=

yA

xA

+

yB

xB

=

k1(xA+1)

xA

+

k1(xB+1)

xB

=2k1+k1•

xA+xB

xAxB

=k1(2-

4k12

2k12-2

)
=-

4k1

2k12-2

=-

2k1

k12-1

，
同理，得到x_C≠0，x_D≠0，
k22≠0，k_OC+k_OD=-

2k2

k22-1

，
故k_OA+k_OB+k_OC+k_OD
=-2（

k1

k12-1

+

k2

k22-1

）
=-2×

k1k22-k1+k12k2-k2

(k12-1)(k22-1)

=-

2(k1k2-1)(k1+k2)

(k12-1)(k22-1)

，
若k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0，须有k₁+k₂=0或k₁k₂=1，
①当k₁+k₂=0时，结合（i）的结论，可得k₂=-2，
所以解得点P的坐标为（0，2）；
②当k₁k₂=1时，结合（i）的结论，
解得k₂=3或k₂=-1（此时k₁=-1，不满足k₁≠k₂，舍去），
此时直线CD的方程为y=3（x-1），联立方程x+y=2得x=

5

4

，y=

3

4

，
因此P（

5

4

，

3

4

）．
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0，2），（

5

4

，

3

4

）．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查

1

k1

-

3

k2

为定值的证明，考查满足条件的点P的坐标是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．