Question

已知f（x）=x²+ax+1，若f（|x|）有4个单调区间，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：通过讨论a的范围，再根据x的范围，确定出函数的对称轴，函数的单调区间，从而确定出a的范围．

解答： 解：当a＞0时，
①x≥0时，f（x）=x²+ax+1，
对称轴x=-

a

2

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
②x＜0时，f（x）=x²-ax+1，
对称轴x=

a

2

＞0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，
∴a＞0时，函数f（|x|）有2个单调区间，
当a=0时，f（x）=1，
当a＜0时，
①x≥0时，f（x）=x²+ax+1，
对称轴x=-

a

2

＞0，
∴f（x）在（0，-

a

2

）递减，在（-

a

2

，+∞）递增，
②x＜0时，f（x）=x²-ax+1，
对称轴x=

a

2

＜0，
∴f（x）在（-∞，-

a

2

）递减，在（-

a

2

，0）递增，
∴a＜0时，函数f（|x|）有4个单调区间
故答案为：a＜0．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．