Question

已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：（x-2）²+（y-4）²=1，过动点P（a，b）分别作圆C₁、圆C₂的切线PM、PN，（M、N分别为切点），若PM=PN，则

(a-5)2+(b+1)2

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：由PM=PN，得P（a，b）到两圆的圆心距离相等，可得P的方程a+2b-5=0，代入

(a-5)2+(b+1)2

构造关于b的函数，利用函数求最值．

解答： 解：∵PM=PN，两圆的半径都为1，∴P（a，b）到两圆的圆心距离相等，
∴

a2+b2

=

(a-2)2+(b-4)2

⇒a+2b-5=0，
又

(a-5)2+(b+1)2

=

4b2+b2+2b+1

=

5(b+ 1 5 )2+1- 1 5

≥

2 5

5

，
故答案是

2 5

5

．

点评：本题考查了直接法求轨迹方程，解题的关键是利用P的轨迹方程构造函数，求最值．