Question

16．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足$xf'（x）+f（x）=\frac{lnx}{x}$，且$f（e）=\frac{1}{e}$，其中e为自然对数的底数，则不等式$f（x）+e＞x+\frac{1}{e}$的解集是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{e}）$
• B． （0，e）
• C． $（\frac{1}{e}，e）$
• D． $（\frac{1}{e}，+∞）$

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=xf（x），分析可得g′（x）=[xf（x）]′=$xf'（x）+f（x）=\frac{lnx}{x}$，对g（x）求积分可得g（x）的解析式，进而可得f（x）的解析式，再令h（x）=f（x）-x，对其求导可得h′（x）=f′（x）-1＜0，分析可得函数h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上递减，将不等式$f（x）+e＞x+\frac{1}{e}$变形可得f（x）-x＞$\frac{1}{e}$-e=f（e）-e，结合函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=xf（x），
则有g′（x）=[xf（x）]′=$xf'（x）+f（x）=\frac{lnx}{x}$，
则g（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+C，即xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+C，
则有f（x）=$\frac{1}{2x}$（lnx）²+$\frac{C}{x}$，
又由$f（e）=\frac{1}{e}$，即f（e）=$\frac{1}{2e}$+$\frac{C}{e}$=$\frac{1}{e}$，解可得C=$\frac{1}{2}$，
故f（x）=$\frac{1}{2x}$（lnx）²+$\frac{1}{2x}$，
令h（x）=f（x）-x，
则h′（x）=f′（x）-1=$\frac{-（lnx+1）^{2}}{2{x}^{2}}-1$＜0，
故函数h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上递减，
不等式$f（x）+e＞x+\frac{1}{e}$，即f（x）-x＞$\frac{1}{e}$-e=f（e）-e，
则有0＜x＜e，
即不等式$f（x）+e＞x+\frac{1}{e}$的解集为（0，e）；
故选：B．

点评 本题考查抽象函数的单调性，涉及导数的计算以及函数的积分计算，关键是求出函数f（x）的解析式．