Question

6．某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000 万元，出售产品收入 40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多 80 万元，同时，当预计投入的资金低于 20 万元时，就按 20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等．
（Ⅰ）求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；
（Ⅱ）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）

Answer 1

分析 （Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为a_n万元，b_n万元，根据题意可得{a_n}是首项为1000，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，{b_n}是首项为40，公差为80的等差数列，问题得以解决，
（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和等比数列的求和公式得到S_n，再根据数列的函数特征，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为a_n万元，b_n万元，
依题意得，当投入的资金不低于20万元，即a_n≥20，a_n=$\frac{1}{2}$a_n+1b_n=b_n+1+80，n≥2，
此时{a_n}是首项为1000，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
{b_n}是首项为40，公差为80的等差数列，
所以a_n=1000×（$\frac{1}{2}$）^n-1，b_n=80n-40，
令a_n＜20，得2^n-1＞50，解得n≥7
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1000×（\frac{1}{2}）^{n-1}，1≤n≤6}\\{20，n≥7}\end{array}\right.$，$bn=\left\{\begin{array}{l}80n-40，1≤n≤6\\ 440，n≥7\end{array}\right.$
（Ⅱ）S_n=$\frac{n[40+（80n-40）]}{2}$-$\frac{1000×[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=2000×（$\frac{1}{2}$）ⁿ+40n²-2000，
所以S_n-S_n-1=-2000×（$\frac{1}{2}$）ⁿ+80n-40，n≥2，
因为f（x）=-2000×（$\frac{1}{2}$）^x+80x-40为增函数，f（3）＜0，f（4）＜0，
所以当2≤n≤3时，S_n+1＞S_n，当4≤n≤6时，S_n+1＜S_n，
又因为S₁＜0，S₆=-528.75＜0，
所以1≤n≤6，S_n＜0，即前6年未盈利，
当n≥7，S_n=S₆+（b₇-a₇）+（b₈-a₈）+…+（b_n-a_n）=-528.75+420（n-6），
令S_n＞0，得n≥8
综上，预计公司从第8年起开始盈利．

点评 本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查函数模型的构建，关键是从实际问题中抽象出数学模型，属于中档题