Question

18．已知抛物线y²=2px （p＞0）上的一点M到定点A（$\frac{7}{2}$，4）和焦点F的距离之和的最小值等于5，则P=3或1．

Answer 1

分析 由M到定点A（$\frac{7}{2}$，4）和焦点F的距离之和的最小值等于5，可得M到定点A（$\frac{7}{2}$，4）与它到准线的距离之和的最小值等于5，求出p的值．

解答 解：当点A在抛物线内部时，抛物线y²=2px的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$．
∵M到定点A（$\frac{7}{2}$，4）和焦点F的距离之和的最小值等于5，
∴M到定点A（$\frac{7}{2}$，4）与它到准线的距离之和的最小值等于5，
∴$\frac{7}{2}$+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=3，
∴抛物线的方程为y²=6x．
同理，当点A在抛物线外部或在抛物线上时，抛物线的方程为y²=2x
故答案为：3或1．

点评 本题考查抛物线的定义，考查学生分析转化问题的能力，正确运用抛物线的定义是关键．