题目内容
如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-DEF的体积最大值为
| 1 |
| 64 |
④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
⑤二面角A′-DE-F大小的范围是[0，
| π |
| 2 |
其中正确的命题是（ ）
| A、①③④ | B、①②③④ |
| C、①②③⑤ | D、①②③④⑤ |
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①由已知可得四边形ADEF是菱形，再利用菱形对角线的性质、线面面面垂直的判定与性质定理即可得出；
②由三角形中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-DEF的体积达到最大，再利用体积计算公式即可得出；
④由平面A′FG⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理可得点A′在面ABC上的射影在线段AF上；
⑤在旋转过程中二面角A′-DE-F大小的范围是[0，π]，即可判断出．
②由三角形中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-DEF的体积达到最大，再利用体积计算公式即可得出；
④由平面A′FG⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理可得点A′在面ABC上的射影在线段AF上；
⑤在旋转过程中二面角A′-DE-F大小的范围是[0，π]，即可判断出．
解答：
解：①由已知可得四边形ADEF是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴平面A′FG⊥平面ABC，①正确；
②由三角形中位线定理可得BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，∴②正确；
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-DEF的体积达到最大，最大值为
×
×
a2×
a=
a3，③正确；
④由平面A′FG⊥平面ABC，可知点A′在面ABC上的射影在线段AF上，∴④正确；
⑤在旋转过程中二面角A′-DE-F大小的范围是[0，π]，∴⑤不正确．
故答案为：①②③④．
∴DE⊥平面A′FG，∴平面A′FG⊥平面ABC，①正确；
②由三角形中位线定理可得BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，∴②正确；
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′-DEF的体积达到最大，最大值为
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 4 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| 1 |
| 64 |
④由平面A′FG⊥平面ABC，可知点A′在面ABC上的射影在线段AF上，∴④正确；
⑤在旋转过程中二面角A′-DE-F大小的范围是[0，π]，∴⑤不正确．
故答案为：①②③④．
点评：本题中考查了空间线面的位置关系，熟练掌握其判定定理和性质定理是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
tan120°=（ ）
A、
| ||||
B、-
| ||||
C、-
| ||||
D、
|
若tan280°=a，则sin80°的结果为（ ）
A、-
| ||||
B、
| ||||
C、-
| ||||
D、-
|
在△ABC中，a=2，b=
，A=
，则B等于（ ）
| 2 |
| π |
| 4 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
下列命题中，与命题“函数y=
的定义域为R”不等价的命题是（ ）
| ax2+bx+c |
| A、函数y=ax2+bx+c的最小值大于0 |
| B、不等式ax2+bx+c≥0对任意实数恒成立 |
| C、不存在x0∈R，使ax02+bx0+c＜0 |
| D、函数y=ax2+bx+c的值域是[0，+∞）的子集 |
若△ABC的三个顶点是A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），则△ABC的面积为（ ）
A、
| ||
| B、31 | ||
| C、23 | ||
| D、46 |