Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是正方形BCC₁B₁的中心，点F，G分别是棱C₁D₁，DD₁的中点．设点E₁是点E在平面DCC₁D₁内的正投影．
（1）证明：直线FG⊥平面FEE₁；
（3）求异面直线E₁G与EA所成角的正弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由

FG

•

FE

=0，

FG

•

FE1

=0，利用向量法能证明直线FG⊥平面FEE₁．
（2）求出

E1G

=（0，-2，0），

EA

=（1，-2，-1），利用向量法能求出异面直线E₁G与EA所成角的正弦值．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得G（0，0，1），F（0，1，2），
E（1，2，1），E₁（0，2，1），

FG

=（0，-1，-1），

FE

=（1，1，-1），

FE1

=（0，1，-1），
∴

FG

•

FE

=0-1+1=0，

FG

•

FE1

=0-1+1=0，
∴

FG

⊥

FE

，

FG

⊥

FE1

，
∴FG⊥FE，FG⊥FE₁，
又FE∩FE₁=F，∴直线FG⊥平面FEE₁．
（2）解：A（2，0，0），

E1G

=（0，-2，0），

EA

=（1，-2，-1），
设异面直线E₁G与EA所成角为θ，
cosθ=

| E1G • EA |

| E1G |•| EA |

=

4

2 6

=

6

3

，
∴sinθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．
∴异面直线E₁G与EA所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．