Question

一条斜率为1的直线l与离心率为

3

的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且

OP

•

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

，求直线与双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由离心率化简双曲线方程，设出直线l方程，代入双曲线方程，利用根与系数的关系，代入2个关于向量的等式求待定系数．

解答： 解：∵e=

3

，∴b=2a²，
∴双曲线方程可化为2x²-y²=2a²，（2分）
设直线方程为y=x+m，
由

y=x+m 2x2-y2=2a2

得x²-2mx-m²-2a²=0．（4分）
∵△=4m²+4（m²+2a²）＞0，
∴直线一定与双曲线相交，（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2m，x₁x₂=-m²-2a²，
∵

PR

=3

RQ

，
∴x_R=

x1+3x2

4

，x₁=-3x₂，
∴x₂=-m，-3x₂²=-m²-2a²，
消去x₂得，m²=a²，（8分）

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）
=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=m²-4a²=-3，（10分）
∴m=±1，a²=1，b²=2，直线方程为y=x±1，
双曲线方程为x²-

y2

2

=1．   （12分）

点评：本题考查双曲线的性质、向量运算、直线与双曲线的位置关系．