Question

在各项均为正数的数列{a_n}中，已知点（a_n+1，a_n）（n∈N^*）在函数y=2x的图象上，且a₂•a₄=

1

64

．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列，并求出其通项；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=na_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由于点（a_n+1，a_n）（n∈N^*）在函数y=2x的图象上，可得a_n=2a_n+1，a_n＞0，再利用等比数列的定义及通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵点（a_n+1，a_n）（n∈N^*）在函数y=2x的图象上，
∴a_n=2a_n+1，a_n＞0，
∴

an+1

an

=

1

2

，故数列{a_n}是公比为

1

2

的等比数列．
∵a₂•a₄=

1

64

．
∴a1×

1

2

×a1×(

1

2

)3=

1

64

，又a₁＞0，解得a1=

1

2

，
∴an=a1qn-1=

1

2n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=

1

2n

，∴b_n=na_n=

n

2n

．
∴S_n=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+(n-1)×

1

2n-1

+n×

1

2n

，…①

1

2

Sn=

1

22

+2×

1

23

+…+(n-1)×

1

2n

+n×

1

2n+1

…②
①-②式得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

．
∴S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-n×

1

2n

=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查了等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式，考查了“错位相减法”，考查了推理能力和计算能力，属于难题．