Question

已知A，B是圆O：x²+y²=1上的两个动点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则

AP

2-

AO

•

AP

的最小值是（　　）

• A、-

  1

  8

• B、0
• C、-

  2

  4

• D、-

  1

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：由题意知当∠AOB=

π

2

时，S取最大值

1

2

，此时

OA

⊥

OB

，建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得

AP

2-

AO

•

AP

为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．

解答： 解：由题意知：△AOB的面积S=

1

2

|

OA

||

OB

|sin∠AOB
=

1

2

×1×1×sin∠AOB=

1

2

sin∠AOB，
当∠AOB=

π

2

时，S取最大值

1

2

，此时

OA

⊥

OB

，
如图所示，不妨取A（1，0），B（0，1），设P（x，1-x），
∴

AP

2-

AO

•

AP

=

AP

•（

AP

-

AO

）=

AP

•

OP

=（x-1，1-x）•（x，1-x）
=x（x-1）+（1-x）（1-x）
=2x²-3x+1，x∈[0，1]
当x=-

-3

2×2

=

3

4

时，上式取最小值-

1

8

．
故选A．

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．