Question

一次考试共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有5道题的答案是正确的，其余题中：有一道题可以判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）设所得分数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余三道题中，可以判断两个选项是错误的概率为

1

2

，可以判断一个选项是错误的概率为

1

3

，可以判断一个选项是错误的概率为

1

4

，即可得出结论；
（2）依题意，该考生得分X的取值是25，30，35，40，求出得分X的取每个值的概率，列出分布列，从而求得所得分数的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余三道题中，可以判断两个选项是错误的概率为

1

2

，可以判断一个选项是错误的概率为

1

3

，可以判断一个选项是错误的概率为

1

4

，
所以，得40分的概率为P=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

；
（2）依题意，该考生得分X的取值是25，30，35，40，则
P（X=25）=

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，
P（X=30）=

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

3

×

1

2

×

3

4

+

1

4

×

1

2

×

2

3

=

11

24

，
P（X=35）=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

4

×

2

3

+

1

3

×

1

4

×

1

2

=

1

4

，
P（X=40）=

1

24

，
所以X的分布列为：

X	25	30	35	40
P	1 4	11 24	1 4	1 24

数学期望EX=25×

1

4

+30×

11

24

+35×

1

4

+40×

1

24

=

365

12

．

点评：本题考查独立事件的概率，求离散型随机变量的分布列与数学期望，求出离散型随机变量取各个值的概率，是解题的难点．