Question

在直角坐标系xOy中，点p是单位圆上位于第一象限的动点，过p作x轴的垂线与射线y=xtanθ（x≥0，0＜θ＜

π

2

）交于点Q，与x轴交于点M，射线与单位圆交于N，设∠MOP=α，且α∈（0，θ）
（1）若θ=

π

3

，sinα=

3

5

，求cos∠POQ；
（2）若θ=

π

4

，求四边形OMPN面积的最大值，
（3）并求取最大值时的α值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意求出sinα和cosα的值，再根据cos∠POQ=cos（

π

3

-α）．利用两角差的余弦公式计算求得结果．
（2）根据S_OMPN=S_△OMP+S_△OPN=

1

2

cosαsinα+

2

4

（sinα-cosα）．令sinα-cosα=t，根据 S_OMPN=-

1

4

(t-

2

2

)2+

3

8

，利用二次函数的性质求得四边形OMPN面积的最大值．
（3）由（2）可得t=

2

2

时，S_OMPN 有最大值

3

8

，此时，cos（α+

π

4

）=

1

2

，根据α+

π

4

的范围，可得α的值．

解答： 解：（1）由题意，∠MOQ=

π

3

，∠POQ=∠MOQ-∠MOP=

π

3

-α，
∵sinα=

3

5

，α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

4

5

．
所以cos∠POQ=cos（

π

3

-α）=cos

π

3

cosα+sin

π

3

sinα=

4+3 3

10

．
（2）∵S_OMPN=S_△OMP+S_△OPN=

1

2

cosαsinα+

1

2

sin（

π

4

-α）
=

1

2

cosαsinα+

2

4

（cosα-sinα）．
令cosα-sinα=t，∵α∈（0，

π

4

），则t∈（0，1），
∴S_OMPN=

1

4

（1-t²）-

2

4

t=-

1

4

(t-

2

2

)2+

3

8

，
当t=

2

2

时，S_OMPN 有最大值

3

8

．
（3）当S_OMPN 有最大值时，cosα-sinα=

2

2

，有cos（α+

π

4

）=

1

2

，由于α+

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），
所以 α=

π

12

为所求．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，属于中档题．