Question

在下列命题中
①函数f（x）=

1

x

在定义域内为单调递减函数；
②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；
③若f（x）为奇函数，则

∫

a -a

f（x）dx=2

∫

a 0

f（x）dx（a＞0）；
④已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件；
⑤已知函数f（x）=x-sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．
其中正确命题的序号为

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①中，函数f（x）=

1

x

在定义域内的区间（-∞，0）和（0，+∞）上有单调性；
②中，由题意可以推导出f（-x）=f（x），即f（x）是偶函数；
③中，由定积分的几何意义与被积函数是奇函数，得出

∫

a -a

f（x）dx的值；
④中，当a+b+c=0时，得出f′（x）有二不等零点，f（x）有极值；当f（x）有极值时，f′（x）有二不等零点，不能得出a+b+c=0；
⑤中，由f′（x）≥0得出a＞-b时，f（a）＞f（-b）；又f（-x）=-f（x），得出f（-b）=-f（b）；从而得出f（a）+f（b）＞0．

解答： 解：对于①，函数f（x）=

1

x

在定义域内的区间（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数，
∴①错误．
对于②，由题意得f（2-（x+2））=f（2+（x+2）），即f（-x）=f（4+x）=f（x），
∴f（x）是偶函数；∴②正确．
对于③，根据定积分的几何意义是函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和，且被积函数f（x）是奇函数，
得

∫

a -a

f（x）dx=0，∴③错误．
对于④，∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c；
当a+b+c=0时，（2b）²-4×3a×（-a-b）=4b²+12a²+12ab=4(b+

3

2

a)2+3a²＞0，∴f′（x）有二不等零点，f（x）有极值；
当f（x）有极值时，f′（x）=3ax²+2bx+c有二不等零点，即4b²-12ac＞0，不能得出a+b+c=0；
∴是充分不必要条件，④正确．
对于⑤，∵f（x）=x-sinx，∴f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）是增函数，∴当a+b＞0时，a＞-b，∴f（a）＞f（-b）；
又∵f（-x）=-x-sin（-x）=-（x-sinx）=-f（x），∴f（x）是奇函数，∴f（-b）=-f（b）；
∴f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0；∴⑤正确．
综上，正确的命题是②④⑤；
故答案为：②④⑤．

点评：本题通过命题真假的判定，考查函数的单调性、周期性、奇偶性以及求定积分和利用导数研究函数极值的问题，解题时应对每一个命题认真分析，以便作出正确的选择，是较难的综合题．