题目内容

2.第13届夏季奥林匹克运动会2016年8月5日到2016年8月21日在巴西里约热内卢举行,为了解我校学生“收看奥运会足球赛”是否与性別有关,从全校学生中随机抽取30名进行了问卷调查,得到2×2列联表,从这30名同学中随机抽取1人,抽到“收看奥运会足球赛”的学生的概率是$\frac{8}{15}$.
男生女生合计
收看10
不收看8
合计30
(1)请将上面的2×2列联表补充完整,并据此资料分析“收看奥运会足球赛”与性別是否有关;
(2)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加有奖竞猜活动,记抽到“收看奥运会足球赛”的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
参考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(a+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d
P(x2≥k)0.1000.0500.0100.001
k02.7063.8416.63510.828

分析 (1)由已知数据可求得2×2列联表,计算观测值,把求得的观测值同临界值进行比较,得到没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关;
(2)X的可能取值为0,1,2,结合变量对应的事件利用等可能事件的概率公式做出概率,写出分布列和期望.

解答 解:(1)

男生女生合计
收看10616
不收看6814
合计161430
由已知数据得:${x^2}=\frac{{30×{{({10×8-6×6})}^2}}}{16×14×16×14}≈1.158<3.841$,
所以,没有充足的理由认为“收看奥运会足球赛”与性別有关.
(2)X的可能取值为0,1,2,则$P({X=0})=\frac{C_6^2}{{C_{16}^2}}=\frac{1}{8},P({X=1})=\frac{{C_6^1C_{10}^1}}{{C_{16}^2}}=\frac{1}{2},P({X=2})=\frac{{C_{10}^2}}{{C_{16}^2}}=\frac{3}{8}$,
所以X的分布列为:
X012
P$\frac{1}{8}$$\frac{1}{2}$$\frac{3}{8}$
X的数学期望为:$EX=0×\frac{1}{8}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{8}=\frac{5}{4}$.

点评 本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列和期望,是一个综合题,准确的数据运算是解决问题的关键.

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