Question

11．设a，b，c是△ABC内角A，B，C所对的边，且$a=bcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}csinB$．
（1）求B；
（2）若b=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a，c．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，求出sinB与cosB的关系，求出tanB的值，即得角B的值；
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求出a、c的值．

解答 解：（1）由已知及正弦定理，得
$sinA=sinBcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
所以$tanB=\sqrt{3}$；
因为0＜B＜π，故$B=\frac{π}{3}$；…（6分）
（2）由（1）及已知，有$\frac{1}{2}acsin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，
得ac=4；①
由余弦定理2²=a²+c²-2accosB，
得a²+c²=8；②
由①②解得a=2，c=2．…（12分）

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，是基础题目．